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ネタ切れです。つまらない問題。

0＜x≦y≦zとする。
(1) 方程式xyz+x+y+z=xy+yz+zx+5 を満たす整数x,y,zの組をすべて求めよ。
(2) 方程式xyz=x+y+zを満たす整数x,y,zの組をすべて求めよ。


(1)は、文字の項と数字の項を分ければ、因数分解して積の形に持ち込めます。
P=xyz+x+y+z-xy-yz-zx-1
=(yz-y-z+1)x +y +z -yz -1　xについて整理して
={(z-1)y-z+1}x -{(z-1)y-z} -1　yについて整理して
=(x-1){(z-1)y-z} +x -1
=(x-1)(z-1)y -(zx -x -z +1)
=(x-1)(y-1)(z-1)

もちろん、Pにx=1,y=1,z=1をそれぞれ代入して、0になることを示しても良いです。（因数定理）

∴ xyz+x+y+z-xy-yz-zx = (x-1)(y-1)(z-1)+1

(2)は、x≦y≦zの条件から、当然x+y+z≦3zですので、これでかなり範囲が絞れます。
x≦y≦zのような条件がない場合でも、この問題の等式はx,y,zの対象式ですから、自分で文字の大小を設定し、あとでx,y,zを入れ替えた答えも正しくなります。

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問題
2以上の自然数nに対し、nとn²+2がともに素数となるのはn=3の場合に限ることを示せ。

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出典は、2006年京都大学の理系です。
解答には合同式を使いますので、一応説明を入れておきます。

a-bがkで割り切れるとき、すなわち、aとbをkで割ったあまりが等しいとき
「a,bはkを法として合同である」といい、「a≡b （mod k）」と表す。（modはモデュロと読む。）

合同式はその性質のほとんどが等式と同じです。
もっとも基本的な性質としては（以下、法はkとします。）

• a≡a
  
• a≡b ならば b≡a
  
• a≡b かつ b≡c ならば a≡c

が成り立ちます。

一般に、a≡b かつ c≡dのとき、

• a±k≡b±k（移項）
  
• ka≡kb（実数倍）
  
• a±c≡b±d （加減）
  
• ac≡bd （乗法）
  
• aⁿ≡bⁿ（累乗）
  
• nとk（法）が互いに素のとき na≡nb ならばa≡b（除法）
  

が成り立ちます。出てくる文字は全て整数です。

まあ、簡単に言えば、a≡b (mod k)っていったら、aをkで割ったあまりはb、等式で表すならa=bp+k(pは整数)ってことです。

さて、問題の解説です。
「自然数a,b,cが a²+b²=c² を満たすとき、a,bのうち少なくとも1つは3の倍数であることを示せ」とか
「nが自然数のとき、2n³-3n²+nは6で割り切れることを示せ」みたいな問題なら、あぁ余りで分類するんだな、ってわかるんですよね。
この問題みたいに、少し間接的に聞かれると、ピンと来る人は少なくなるのかもしれません。

では解答。

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受験生が忘れがちな公式を紹介したいと思います。

■因数分解公式
x³ + y³ + z³ -3xyz
= (x + y + z)(x² + y² + z² -xy - yz -zx)
= (1/2)(x + y + z)((x-y)² + (y-z)² + (z-x)²)

2つ目の等号は2倍して2分の1するだけですので、1つ目の等号を示しておきましょう。

（証明）
x³ + y³ + z³ -3xyz
整式をxの多項式とみて整理すると
x³ -3yz*x + y³ + z³
= x³ -3yz*x + (y+z)³ - 3yz(y+z)
= (x³+(y+z)³)) -3yz(x+y+z)
= (x+y+z)(x²-x(y+z)+(y+z)²) - 3yz(x+y+z)
= (x+y+z)(x² +y² +z² - xy - yz - zx)

※下線部の変形を補足しておきます。
a³+b³ = (a+b)³-3ab(a+b)
a³+b³ = (a+b)(a² -ab + b²)


この恒等式に関係した問題が今年の東北大で出題されています。


解答は↓

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問題
方程式 x⁷-1=0 の解を1,α₁,α₂,α₃,α₄,α₅,α₆とおくとき、
(1-α₁)(1-α₂)(1-α₃)(1-α₄)(1-α₅)(1-α₆)の値を求めよ。

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さて、どうしたものでしょうか？α_1〜6の値は一応求まりますが、物凄く複雑になりそうです。何か別の方法を考えましょう。

与えられた方程式はx=1を解に持ちますから、x⁷-1は(x-1)を因数に持ちます。
よって、
x⁷-1 = (x-1)(x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1) ―――(1)
と因数分解できます。

x=α_1〜6のときも方程式を満たしますから、
x⁷-1 = (x-1)(x-α₁)(x-α₂)(x-α₃)(x-α₄)(x-α₅)(x-α₆) ―――(2)
と因数分解できます。

(1)と(2)を見比べれば
(x-α₁)(x-α₂)(x-α₃)(x-α₄)(x-α₅)(x-α₆) = x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1
となることがわかります。
この等式にx=1を代入すれば、
(1-α₁)(1-α₂)(1-α₃)(1-α₄)(1-α₅)(1-α₆) = 7
となります。これが答えです。


■因数分解公式
xⁿ - 1 = (x - 1)(x^n-1 + x^n-2 + … + x + 1)
等式の両辺をx-1で割ると、初項1、公比xの等比数列の和を表していることがわかります。
さらに一般化すると
xⁿ - yⁿ = (x - y)(x^n-1 + x^n-2y + … + xy^n-2 + y^n-1)

また、nが奇数のとき
xⁿ + yⁿ = (x + y)(x^n-1 - x^n-2y + x^n-3y² - … + x²y^n-3 - xy^n-2 + y^n-1)
プラスとマイナスが交互に現れます。

ちなみに、問題の方程式の解は…

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問題文の全体は河合塾の解答速報を参照されよ。

Bats have a problem : how to find their way abound in the dark. They hunt at night, and therefore (1)( cannot / find / help / light / them / to / use ) food and avoid obstacles.
…
It is probable, by the way, that night-hunting (2)( back / goes / history / in / of / the / way ) all us mammals. In the time when the dinnosaurs dominated the daytime economy, our ancestors probably only managed to survive at all because they found ways of making a living at night. Only after the myterious dissapearance of the dinosaurs about 65 million years ago (3)( able /ancestors / come / our / out / to / were ) into the daylight in any significant numbers.
…
Given (4)(around / how / move / of / question / the / to) in the dark, what solutions might an engineer consider?
…
Anyway, (5)(is / not / or / reason / the / weather) the energy expense, it seems to be the case that, 〜

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