英語ができないんだから、数学と理科を人一倍がんばるしかないだろう。
いや、英語もがんばりますけど。まあ、英作文は好きですね。
いや、英語もがんばりますけど。まあ、英作文は好きですね。
「大学受験に必要ないからやらない」っていうのは、「日常生活に差し支えないから本なんか一切読まない」、もっと言えば「別に死にはしないんだし風呂なんか入らない」っていうのと何ら変わらない。要するに、学ぼうとしないことは暦とした問題なのだ。勿論、受験勉強程度の勉強もしない奴は論外だが。
最近周りの生徒からよく質問を受ける。頼られていること自体は少しばかり嬉しいのだが、問題なのはその次元の低さである。
特に多いのが、「この問題どうやんの？」というもの。別に答えられるから答えるが、果たしてそれでいいのだろうか。
「この問題なんだけれども、記述の便宜上ベクトルOAをaなどと表して、分点の公式や内積を使ってQRの中点を求めようと…(中略)…点Q,RとPが一致してしまうという事態が起こってしまったよ。いったい何が起こったのか僕にはわからない。計算ミスなどはないと思うのだが、なぜこうなってしまったのだろう？それと、君ならどう解くのか教えてくれないか？」
これくらい詳細に話してくれれば、より的確な解答ができるというものだ。まあ、「どう解くの？」ならまだいいが、これが「ベクトルがわからん」「数列がわからん」になってくると、もうどうしようもない。休日に6時間かけて教授してやらなければいけなくなる。もちろんそんなことはしないが。
さらに、「数学ができるようになるにはどうしたらいいの？」というもの、（別に私は数学が特別できるわけではないが）類して、「こういう問題は覚えるしかないの？」「数学って暗記なの？」という質問もよく受ける。
こういう質問をする人は、何か大きな勘違いをしているように思われる。数学ができるようになる方法なんてものはない。よって、答えがあるはずがない。ただ、もともと頭の悪い奴が出来るようになりたいと思えば、頭の良い奴より時間がかかるというだけだ。何を当たり前のことを聞いているのかと。そんなのは現代文の定期テストで飽き飽きしていたところだ。
覚えるしかないのか？試験場で問題が解けるようにするには、典型的な解法や定石は導き出せる必要がある。数時間考えればその解法に至る必然性などが見えてくれば覚える必要はないが、それがわからないなら覚えるしかないだろう。私なんかに聞くよりも、自分の思考力と相談した方が断然早い。
「塾は行ったほうがいいの？」という質問も同じだ。行く必要があると感じたらいけばいい。私は参考書だけで独学は可能だと思うからいかない、それだけの話だ。それに、いくら良質な授業を受けたところで、授業で解説できる問題数は限られているし、受身の授業だけでは自分で考えないから理解も当然浅くなる。結局、自習で過去問や問題集をやらなければ演習量も理解も圧倒的に不足するだろう。
「どんな問題集がいい？」と聞かれたら「そりゃあ、数学なら断然1対1対応の演習がいい。なんたって、ほとんど全ての問題が入試問題だからな。それなりに骨がある。チャート式なんか基本問題が多すぎて退屈だしな。コンパスマーク1〜3の問題なんてほとんど公式当てはめるだけだろ？そこいくと、1対1は公式は使える前提で、より実践的で、それでいて標準的な問題を載せているから、解いていて面白い。あとチャート式は2次関数のところにガウス記号を持ってきたり、問題選定・配列も意味不明。一番マシなのは赤だと思うが、2,B,3,Cが分冊だから本棚のスペースを取ってならん。解説も圧倒的に1対1の方が上。」と答えておく。
特に多いのが、「この問題どうやんの？」というもの。別に答えられるから答えるが、果たしてそれでいいのだろうか。
「この問題なんだけれども、記述の便宜上ベクトルOAをaなどと表して、分点の公式や内積を使ってQRの中点を求めようと…(中略)…点Q,RとPが一致してしまうという事態が起こってしまったよ。いったい何が起こったのか僕にはわからない。計算ミスなどはないと思うのだが、なぜこうなってしまったのだろう？それと、君ならどう解くのか教えてくれないか？」
これくらい詳細に話してくれれば、より的確な解答ができるというものだ。まあ、「どう解くの？」ならまだいいが、これが「ベクトルがわからん」「数列がわからん」になってくると、もうどうしようもない。休日に6時間かけて教授してやらなければいけなくなる。もちろんそんなことはしないが。
さらに、「数学ができるようになるにはどうしたらいいの？」というもの、（別に私は数学が特別できるわけではないが）類して、「こういう問題は覚えるしかないの？」「数学って暗記なの？」という質問もよく受ける。
こういう質問をする人は、何か大きな勘違いをしているように思われる。数学ができるようになる方法なんてものはない。よって、答えがあるはずがない。ただ、もともと頭の悪い奴が出来るようになりたいと思えば、頭の良い奴より時間がかかるというだけだ。何を当たり前のことを聞いているのかと。そんなのは現代文の定期テストで飽き飽きしていたところだ。
覚えるしかないのか？試験場で問題が解けるようにするには、典型的な解法や定石は導き出せる必要がある。数時間考えればその解法に至る必然性などが見えてくれば覚える必要はないが、それがわからないなら覚えるしかないだろう。私なんかに聞くよりも、自分の思考力と相談した方が断然早い。
「塾は行ったほうがいいの？」という質問も同じだ。行く必要があると感じたらいけばいい。私は参考書だけで独学は可能だと思うからいかない、それだけの話だ。それに、いくら良質な授業を受けたところで、授業で解説できる問題数は限られているし、受身の授業だけでは自分で考えないから理解も当然浅くなる。結局、自習で過去問や問題集をやらなければ演習量も理解も圧倒的に不足するだろう。
「どんな問題集がいい？」と聞かれたら「そりゃあ、数学なら断然1対1対応の演習がいい。なんたって、ほとんど全ての問題が入試問題だからな。それなりに骨がある。チャート式なんか基本問題が多すぎて退屈だしな。コンパスマーク1〜3の問題なんてほとんど公式当てはめるだけだろ？そこいくと、1対1は公式は使える前提で、より実践的で、それでいて標準的な問題を載せているから、解いていて面白い。あとチャート式は2次関数のところにガウス記号を持ってきたり、問題選定・配列も意味不明。一番マシなのは赤だと思うが、2,B,3,Cが分冊だから本棚のスペースを取ってならん。解説も圧倒的に1対1の方が上。」と答えておく。
不定方程式の問題今回は分数形。
出典は今年の名古屋大学です。分数の形で表された不定方程式には、オーソドックスかつ明快な解法が2つあります。
おそらく、一番素直なのは普通の方程式を解くのと同様に、分母を払ってやることでしょう。この例では両辺に4xyをかければ、8y + 4x =xyとなります。このままでは解きにくいのでもう一工夫。
8y +4x = xy
⇔ xy - 4x -8y =0
⇔ xy - 4x -8y +32 = 32
⇔ (x-8)(y-4)=32 ( =1 × 2^5)
左辺を因数分解を利用して積の形に変形できたので、あとは右辺を素因数分解して虱潰しです。
ただし、未知数が多くなってくれば、当然1次式の積の形に変形するのは難しくなります。その場合に有効なやり方があります。
(i) 0＜x≦yのとき
1/4 = 2/x + 1/y ≦ 2/x + 1/x
∴ 1/4 ≦ 3/x
∴ x≦12 （∵x＞0）
また、x≦8とすると、2/x≧1/4より
1/4 ＜ 1/4 + 1/y
となり、等式は不成立となる。よって、上とあわせて9≦x≦12。 これでxの範囲が絞られました。あとは虱潰しです。
(ii)0＜y≦xのとき
1/4 = 2/x + 1/y ≦ 2/y + 1/y
∴ 1/4 ≦ 3/y
∴ y≦12 （∵y＞0）
また、y≦4とすると、1/y ≧1/4より
1/4 ＜ 2/x + 1/4
となり、等式は不成立となる。よって、上とあわせて5≦y≦12。 こちらのyは多少範囲が広かれど、とりあえず有限個に絞られたのであとは虱潰しです。
(i)と(ii)で求めた解をあわせれば答えが出ます。
また、等式がx,yの対称式(xとyを入れ替えても式の値が変わらない式)…たとえば、1/x + 1/y = 1/4等ならば、0＜x≦yの場合だけ調べればいいです。なぜならば、対象式なのでx,yの値を入れ替えても成り立ち、わざわざ2度調べる必要はないからです。たとえば、(x,y)=(6,12)が解ならば、x,yを入れ替えた(x,y)=(12,6)も解です。
今回は未知数が2つで等式も比較的単純ですから、その1の方法で解答します。
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出典は今年の名古屋大学です。分数の形で表された不定方程式には、オーソドックスかつ明快な解法が2つあります。
おそらく、一番素直なのは普通の方程式を解くのと同様に、分母を払ってやることでしょう。この例では両辺に4xyをかければ、8y + 4x =xyとなります。このままでは解きにくいのでもう一工夫。
8y +4x = xy
⇔ xy - 4x -8y =0
⇔ xy - 4x -8y +32 = 32
⇔ (x-8)(y-4)=32 ( =1 × 2^5)
左辺を因数分解を利用して積の形に変形できたので、あとは右辺を素因数分解して虱潰しです。
ただし、未知数が多くなってくれば、当然1次式の積の形に変形するのは難しくなります。その場合に有効なやり方があります。
(i) 0＜x≦yのとき
1/4 = 2/x + 1/y ≦ 2/x + 1/x
∴ 1/4 ≦ 3/x
∴ x≦12 （∵x＞0）
また、x≦8とすると、2/x≧1/4より
1/4 ＜ 1/4 + 1/y
となり、等式は不成立となる。よって、上とあわせて9≦x≦12。 これでxの範囲が絞られました。あとは虱潰しです。
(ii)0＜y≦xのとき
1/4 = 2/x + 1/y ≦ 2/y + 1/y
∴ 1/4 ≦ 3/y
∴ y≦12 （∵y＞0）
また、y≦4とすると、1/y ≧1/4より
1/4 ＜ 2/x + 1/4
となり、等式は不成立となる。よって、上とあわせて5≦y≦12。 こちらのyは多少範囲が広かれど、とりあえず有限個に絞られたのであとは虱潰しです。
(i)と(ii)で求めた解をあわせれば答えが出ます。
また、等式がx,yの対称式(xとyを入れ替えても式の値が変わらない式)…たとえば、1/x + 1/y = 1/4等ならば、0＜x≦yの場合だけ調べればいいです。なぜならば、対象式なのでx,yの値を入れ替えても成り立ち、わざわざ2度調べる必要はないからです。たとえば、(x,y)=(6,12)が解ならば、x,yを入れ替えた(x,y)=(12,6)も解です。
今回は未知数が2つで等式も比較的単純ですから、その1の方法で解答します。
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前回に引き続き、不定方程式の問題です。
出典は09年(今年)の一橋です。前回の東大の類題です。こちらのほうが次数が高い分、ミスを減らすためには工夫が必要となります。
とりあえず、方程式を解きたいので、未知数と定数を別の項に移動したいと考えます。
m^3 - n^3 = 999 この左辺は因数分解できます。m^3 - n^3 = (m-n)(m^2 +mn +n^2)。
左辺が積の形なので、素因数分解に結び付けたいです。すると、999=3^3 × 37ですから、あとは虱潰しです。m-n=3の場合、m-n=9の場合、m-n=27の場合、m-n=37の場合、m-n=37×3の場合…
そして、m=3+nなどとし、残った方の因数、すなわちm^2 +mn +n^2に代入、最終的にnの2次方程式を解くことになります。
…ちょっと冗談じゃない計算量ですね。場合分けと計算を減らす工夫を考えます。
m^2 +mn +n^2はm,nの対称式なので、基本対象式m+n,mnで表せます。
m^2 + n^2 = (m+n)^2 -2mn ですから、m^2 +mn +n^2 = (m+n)^2 -mn となります。おっと、m^3 - n^3は交代式ですから(m-n)を因数に持ちました。ですから、m-nを主役に式変形してみます。
m^3 - n^3
= (m-n)(m^2 +mn +n^2)
= (m-n){ (m-n)^2 +3mn }
= (m-n)^3 +3mn(m-n) これは公式として覚えておきたいです。
これを最初の式に代入して、少し変形すると
(m-n)^3 = 3{ 333 - mn(m-n) }
よって、(m-n)^3が3の倍数ということが分かりました。よってm-nも3の倍数です。
ここらへんで解答。
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出典は09年(今年)の一橋です。前回の東大の類題です。こちらのほうが次数が高い分、ミスを減らすためには工夫が必要となります。
とりあえず、方程式を解きたいので、未知数と定数を別の項に移動したいと考えます。
m^3 - n^3 = 999 この左辺は因数分解できます。m^3 - n^3 = (m-n)(m^2 +mn +n^2)。
左辺が積の形なので、素因数分解に結び付けたいです。すると、999=3^3 × 37ですから、あとは虱潰しです。m-n=3の場合、m-n=9の場合、m-n=27の場合、m-n=37の場合、m-n=37×3の場合…
そして、m=3+nなどとし、残った方の因数、すなわちm^2 +mn +n^2に代入、最終的にnの2次方程式を解くことになります。
…ちょっと冗談じゃない計算量ですね。場合分けと計算を減らす工夫を考えます。
m^2 +mn +n^2はm,nの対称式なので、基本対象式m+n,mnで表せます。
m^2 + n^2 = (m+n)^2 -2mn ですから、m^2 +mn +n^2 = (m+n)^2 -mn となります。おっと、m^3 - n^3は交代式ですから(m-n)を因数に持ちました。ですから、m-nを主役に式変形してみます。
m^3 - n^3
= (m-n)(m^2 +mn +n^2)
= (m-n){ (m-n)^2 +3mn }
= (m-n)^3 +3mn(m-n) これは公式として覚えておきたいです。
これを最初の式に代入して、少し変形すると
(m-n)^3 = 3{ 333 - mn(m-n) }
よって、(m-n)^3が3の倍数ということが分かりました。よってm-nも3の倍数です。
ここらへんで解答。
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